Intégration de profils d'avalanche
On vous propose de mettre en pratique les méthodes d'intégration que vous avez apprises sur des données expérimentales.
Expérience
Une masse de sable est initialement maintenue par une porte, en haut d'une boîte inclinée de 30° par rapport à l'horizontale. La porte est alors ouverte brusquement. Le sable s'écoule et se fige à une nouvelle position d'équilibre. Voici un film de l'avalanche vue de coté (en réalité la boîte est bien inclinée). La boîte fait 50 cm de long et 4 cm de large, le film est ralenti d'un facteur 3.
Profils des hauteurs
Pour chaque image, le profil de la hauteur de sable a été détecté. Ces
profils ont été enregistrés dans des fichiers au format texte. Vous
pouvez télécharger ici une archive
regroupant 66 fichiers dans un fichier au format tar.gz
(voir doc Unix pour savoir
comment en extraire le contenu). Le profil correspondant à l'image 0
se nomme "profil00.dat", le profil de l'image 1 : "profil01.dat",
... Les profils sont au nombre de 66 (de 00 à 65), 2 profils
successifs sont espacés de 1/25 s.
Extrait du profil 50 :
0 0 1 36.30298 2 38.09445 3 38.20952 4 38.27522 5 38.29433 6 38.42561 7 38.36044 8 38.23705 9 38.26419 10 38.34398 11 38.24536 12 38.20876 13 38.28499 14 38.3662 15 38.25867 16 38.23112 26 38.41464
La première colonne correspond aux abscisses (position le long du fond de la boîte), la seconde colonne est la hauteur de sable correspondante (exemple: h(x=7,t=50) = 38.36044). Chaque fichier comporte 384 lignes. Les valeurs sont en pixels et 381 pixels = 50 cm.
Calcul des débits
On peut déduire des interfaces du tas de sable, les valeurs de débits Q (x,t).
- Trouvez l'équation qui permet de calculer le débit Q(x,t) à partir des hauteurs h(x,t).
- Ecrivez un programme permettant de :
- Charger les fichiers des hauteurs
- Calculer et sauvegarder les valeurs des débits Q(x,t) (un fichier par profil Q(x) à un instant donné). Quelle est la méthode d'intégration la plus adaptée ?
- Calculer et sauvegarder le débit maximum et le débit en bout de boîte en fonction du temps.
- Quelle indication est donnée par le débit en bout de boîte ? Comment peut-on améliorer le calcul des débits ? Comment peut-on optimiser le calcul des débits à partir des informations contenues dans la courbe du débit maximum en fonction du temps ?