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Nombres aléatoires, Monte-Carlo, ...

Dans ce TD, nous allons voir comment fonctionne la méthode de Monte-Carlo pour calculer une intégrale.

La méthode Monte-Carlo -- dont le nom fait allusion aux casinos, temples du hasard -- utilise de grandes quantités de nombres aléatoires. La première étape du TD est donc consacrée à la programmation d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Même s'il existe des fonctions et dispositifs tout faits qui fournissent des nombres aléatoires (Linux: man 3 random et man 4 random), il peut parfois être intéressant de disposer d'une source qu'on connaît, et qui peut fournir plusieurs fois de suite strictement la même séquence de nombres pseudo-aléatoires.

• Programmez un générateur de nombres pseudo-aléatoires de la classe des générateurs linéaires congruentiels:

  Uj+1 = a Uj + c (mod m)
  

  Utilisez par exemple a=4096, c=150889, m=714025. Faites de votre générateur une fonction double aleatoire() qui renvoie à chaque appel un nouveau nombre aléatoire entre 0 et 1. Utilisez soit une variable globale, soit une variable locale précédée de static pour stocker le dernier nombre généré (il est prudent d'utiliser le type long long unsigned int, pour être sûr de ne pas avoir d'erreur de dépassement (overflow) pendant le calcul.
• Tirez maintenant un grand nombre de couples (x,y) de nombres aléatoires et comptez combien de ces points dans le plan sont à moins d'une unité de l'origine (x²+y²<1). Vers quoi tend le rapport de ce nombre sur le nombre de tirages, lorsque ce dernier tend vers l'infini ?
• En pratique le nombre de tirages est fini. À quelle erreur s'attend-on ? Vérifiez à l'aide d'un programme.
• En quoi le générateur de nombres pseudo-aléatoire limite-t-il la précision qu'on peut espérer atteindre par cette méthode d'intégration Monte-Carlo ? Quelle sera la précision maximale du générateur indiqué plus haut ? Testez à l'aide de votre programme. Pour le générateur caractérisé par (a = 39373, c = 0, m = 2147483647), quelle sera la limite ?
• Utilisez le générateur aléatoire pour générer une courbe bruitée: f(x) = (1+bruit)*exp(-x). Générez un fichier qui comporte 50 points dans l'intervalle 0≤x<5, avec un bruit uniformément distribué dans un intervalle [-η,η].
• On voudrait ajuster une fonction g(x) = exp(-ax+b) à ces points. Écrivez la fonction Χ², somme des carrés des distances des points de notre fichier de la fonction g(x). Calculez, en dérivant, les conditions de moindres carrés. Réécrivez ces conditions sous forme matricielle (rappel: vous pouvez vous aider des notes de cours).
• Écrivez un programme qui calcule la solution de la minimisation de Χ². Utilisez la librairie libphynum
• Affichez dans gnuplot les points et la fonction g(x) ajustée. Faites l'ajustement à l'aide de gnuplot (commande fit). Le résultat est-il le même ?