Allongement électrostatique d'un polymère

On modélise un polymère par une chaîne linéaire de N atomes ou molécules (les monomères) reliés par des ressorts (assurant la cohésion de l'ensemble), de raideurs k et de longueur à vide l.

Lors de sa dissolution dans l'eau, les monomères se chargent positivement par échange d'électrons avec la solution. Tous les monomères sont alors supposés porter la même charge q, créant une force de répulsion électrostatique entre les monomères, et par conséquent un allongement du polymère.

On paramétrise le problème en notant xn* la position au repos du monomère n (n = 0,1,...,N-1) en dehors de la solution, et xn = xn* + lδn la position du monomère en solution. On place l'origine du repère sur le premier monomère : x0* = 0.

  1. Quelle est la position du monomère n hors de la solution (repos) en fonction de n et l ?

  2. On considère par la suite une chaîne de 4 monomères à l'équilibre et en solution.

    Ecrire le bilan des forces pour les 4 monomères. On introduira le paramètre α = 4πε0 kl³/q² (rapport de la force de rappel à la force électrostatique).

  3. Les 4 équations trouvées ne sont pas indépendantes, il faut donc se donner une contrainte supplémentaire et supprimer une équation. Le plus simple est sans doute d'imposer δ0 = 0 (changement d'origine du repère) et de ne considérer le bilan des forces que sur les monomères 1, 2 et 3.

  4. En supposant des allongements relatifs petits entre deux monomères (|δi - δj| << |i - j|), linéarisez les 3 équations obtenues en utilisant 1/(1 + ε)² ~ 1 - 2ε. Montrez qu'on obtient alors les trois équations suivantes:

    0 = α (δ2 - 2δ1) + 2[ -δ1 + (δ2 - δ1) + (1/8)(δ3 - δ1)] - ¼

    0 = α (δ1 + δ3 - 2δ2) + 2[ -(1/8) δ2 - (δ2 - δ1) + (δ3 - δ2)] + ¼

    0 = α (δ2 - δ3) + 2[ -(1/27)δ3 - (1/8)(δ3 - δ1) - (δ3 - δ2)] + (1 + 1/4 + 1/9)

  5. Montrer que ce système d'équations s'écrit sous la forme (αA + B)δ = C, où A et B sont des matrices 3*3, δ et C des vecteurs de dimension 3, définis par:

    δ = (δ1, δ2, δ3)



    C = (¼, -¼, -(1-¼+1/9))



        / -2  1  0 \

    A = |  1 -2  1 |

        \  0  1 -1 /



        / -(4+¼)    2          ¼       \

    B = |    2   -(4+¼)        2       |

        \    ¼      2   -2(1+1/8+1/27) /
  6. Ecrire un programme résolvant cette équation pour un alpha donné. On appliquera pour cela la méthode de Gauss (sans pivot) à la matrice (αA + B,C).
  7. Faire calculer l'étirement relatif du polymère (δ3) pour un intervalle de valeurs de α et afficher le résultat à l'aide de gnuplot.

deuxième partie: chaîne de N monomères

Il n'est pas beaucoup plus difficile d'écrire le bilan des forces sur un monomère i dans le cas général d'une chaîne de longueur N. On montre alors (petit exercice à la maison...) comme précédemment que le problème linéarisé consiste à résoudre l'équation (αA + B)δ = C, où A et B sont des matrices (N-1)*(N-1), δ et C des vecteurs de dimension N-1, définis par:

δ = (δ1, δ2, ..., δN-1)

Ci = s2(N - 1 - i) - s2(i), pour i = 1..N-1 avec s2(m) = ∑ j=1m 1/j²

Ai,i = -2 pour i = 1..N-2 ; AN-1,N-1 = -1

Ai+1,i = Ai,i+1 = 1 pour i = 1..N-2

Ai,j = 0 sinon

Bi,i = -2 (s3(i) + s3(N - 1 - i)), pour i = 1..N-1 avec s3(m) = ∑ j=1m 1/j³

Bi,j = 2/|j-i|³ pour i différent de j
  1. Généralisez votre programme précédent pour calculer le vecteur des allongements relatifs δ = (δ2, δ3, ..., δN) pour α de l'ordre de 100.
  2. Tracer la fonction d'étirement f(n) = δn - δ n-1. Comment évolue l'étirement avec la taille N du polymère ?
Auteur(s) : P. Dommersnes, H. Halloin, A. Daerr. Dernière modification : Wed May 17 20:05:23 2006. [valid. XHTML]