Résolution de f(x)=0

Dichotomie et méthode de Newton-Raphson

  1. Trouver la racine de l'équation f(x) = cos(x)-x³ = 0 dans l'intervalle [0,1], avec une précision ε donnée, par les deux méthodes (dichotomie, Newton-Raphson). On créera deux fonctions pour le calcul de f(x) et de sa dérivée.
  2. Écrire une version du programme où, selon la méthode de résolution choisie, on fait appel dans main , soit à une fonction dichotomie, soit à une fonction newton. Ces fonctions prendront plusieurs arguments parmi lesquels figurera un pointeur sur la fonction (et éventuellement un sur sa dérivée).

Calcul de la position du point de Lagrange L1 du système Terre-Soleil

lignes équipotentielles dans le référentiel tournant

La couronne solaire émet en permanence un flux de plasma, appelé vent solaire, composé d'électrons et principalement de protons (95%) et d'Hélium He2+, qui s'étend dans tout l'espace interplanétaire. Pour étudier en permanence ce vent solaire, on place des satellites scientifiques (par exemple SOHO ou WIND) au point de Lagrange L1 du système Soleil-Terre. Ce point, situé entre la Terre et le Soleil sur l'axe Terre-Soleil, a une propriété intéressante: dans le référentiel où la Terre et le Soleil sont fixes, donc en rotation avec la vitesse angulaire Ω égale à la vitesse de rotation de la Terre et du Soleil autour de leur centre de masse C, un objet avec une vitesse nulle placé en ce point resterait en place indéfiniment (en fait cette position est instable...).

Pour trouver les points d'équilibre du système Terre-Soleil ayant cette propriété, il faut considérer les forces agissant sur une petite masse placée en un point donné. On suppose qu'on peut négliger l'influence de la petite masse sur le mouvement des deux corps lourds (Terre et Soleil), et on note μ = mTerre/mSoleil le rapport des masses de ces derniers.

  1. Si on fixe la position du barycentre en (0,0) et celle de la Terre en (1,0), à quelle position se trouve le Soleil ?
  2. La troisième loi de Kepler dit que deux corps tournent l'un autour de l'autre à une pulsation Ω qui obéit à la relation
    Ω² R³ = GMtot
    où Mtot est la masse totale du système binaire et R la distance entre les deux corps (pour une orbite circulaire). Que vaut Ω dans nos unités ?
  3. Notre référentiel tourne à la fréquence Ω, il existe donc une force apparente centrifuge dans ce référentiel. En tenant compte de cette force, et des attractions gravitationnelles de la Terre et du Soleil, formuler la condition d'équilibre pour un petit objet se situant sur l'axe de symétrie Soleil-Terre, entre ces deux corps.
  4. Utiliser le programme écrit plus tôt pour trouver la solution de cette équation (qui correspond au point L1). Que trouvez vous pour μ=1/332830, qui décrit approximativement le système Soleil-Terre ? (si vous trouvez l'une des valeurs suivantes pour la distance L1-Terre, vous êtes en bonne compagnie: 0.5RST, 0.07RST, 0.01RST (RST: distance Soleil Terre))

Resources

Auteur(s) : M. Malingre, A. Daerr. Dernière modification : Wed May 17 19:23:11 2006. [valid. XHTML]