Menisque liquide autour d’une fibre

Examen de Physique Numérique M1spi, Univ. Paris Diderot,

9 janvier 2009, 9h15-12h

Adrian Daerr

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1 Description

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Figure 1: Le liquide ‘mouille’ la fibre et forme un ménisque

Lorsqu’on plonge une fibre cylindrique dans un bain liquide, on observe la formation d’un ménisque axisymétrique (Fig. (schema)). Si l’énergie de surface de la fibre est plus faible au contact du liquide qu’au contact de l’air, alors le liquide monte le long de la fibre et la mouille sur une hauteur h . On vous propose de calculer le profil r(z) d’un ménisque sur une fibre de rayon b .

Le profil du ménisque résulte de l’équilibre des forces de tension de surface et du poids du liquide:

\gamma C = -\rho g z

où \gamma est la tension de surface liquide-gaz (en N/m), C la courbure (en m {}^-1 ), \rho la masse volumique du liquide et g l’accélération de la pesanteur.

En exprimant la curbure en fonction de z et r , on obtient l’équation différentielle suivante qu’il nous faudra intégrer:

- \frac{{\ddot r}}{(1+{\dot r}^2)^{3/2}} + \frac{1}{r(1+{\dot r}^2)^{1/2}} = - \frac{\rho g}{\gamma } z

où {\dot r} et {\ddot r} représentent respectivement les dérivées première et seconde de r par rapport à z . On voit apparaître une longueur caractéristique \ell _ c appelée « longueur capillaire » , telle que

\ell _ c = \sqrt {\frac{\gamma }{\rho g}}

On adimensionne les longueurs par cette longueur caractéristique ( R=r/\ell _ c , Z = z/\ell _ c , {\dot R}={\dot r} , {\ddot R}={\ddot r}\ell _ c ), de sorte que l’équation différentielle devient:

\ddot R = Z(1+{\dot R}^2)^{3/2} + \frac{1+{\dot R}^2}{R} (eq. eqadim")

2 Partie A: résolution de l’équation différentielle

Q1: Pourquoi est-ce important d’adimensionner une équation avant de l’intégrer numériquement ?

Q2: Écrivez un programme (commenté et avec votre nom en entête) permettant de résoudre l’équation et de sauvegareder les valeurs Z , R(Z) et {\dot R}(Z) dans un fichier. L’intégration de l’équation ((eqadim)) se fera depuis les valeurs initiales R_0 , Z_0 et \dot R_0 (voir figure) jusqu’à la valeur finale R=3. On prendra un pas d’intégration négatif dZ = -0.001 (le fait que dZ soit négatif ne change absolument rien). Utilisez un schéma d’intégration au moins d’ordre 2 (pas d’Euler simple).

guide:

Q3: Exécutez votre programme avec les valeurs initiales R_0=0.1 , \dot R_0 = 0 et Z_0= 0.25 , puis Z_0=0.35 . Tracez et imprimez les courbes R(Z) obtenues à l’aide de gnuplot. Que remarquez-vous, que valent les valeurs finales de Z et \dot R (pour R=3 ) ?

3 partie B: recherche de zéro

Le ménisque rejoint le bain de liquide à l’horizontale. Ainsi, lorsque Z=0 , R tent vers l’infini et \dot R tend vers moins l’infini. Si on part avec une valeur initiale Z_0 trop élevée, la valeur asymptotique (quand \dot R vaut moins l’infini) de Z est supérieure à 0. Inversement, si Z_0 est trop petit, le ménisque descend sous la limite Z=0 . La solution physique est bien Z=0 pour R tend vers l’infini et \dot R tend vers moins l’infini.

Q4: Modifiez votre programme pour trouver une bonne valeur approchée de Z_0 , telle que pour R=3 la valeur de Z soit proche de 0 et celle de \dot R « proche » de moins l’infini (les valeurs de \dot R_0 et R_0 ne changent pas). On choisira 0.25 et 0.35 comme valeurs d’encadrement initial de Z_0 . Le résultat sera jugé satisfaisant lorsque les valeurs finales (c’est à dire pour R=3 ) de Z et \dot R satisfairont: |Z|<0.01 et \dot R < -1000 . Il est toujours préférable de limiter également le nombre d’itérations.

Q5: La longueur capillaire vaut \ell _ c = 2\, mm. Redimensionnez le profil R(Z) obtenu, tracez et imprimez le profil r(z) à l’aide de gnuplot. Quelle valeur de z_0 obtenez vous ?

Barème (à titre indicatif):

Auteur(s) : A. Daerr. Dernière modification : Thu Sep 17 19:27:41 2009. [validate XHTML]