Examen janvier 2007

Dynamique d'une fusée

Examen de Méthodes Numériques (ph404) janvier 2007

documents autorisés: notes de cours, site http://www.pmmh.espci.fr/~daerr/ph404/

temps: 2 heures et 30 minutes

bon courage!

Notes: Vous devez imprimer les programmes et graphiques que vous créez. Si toutefois vous n'y parvenez pas (en cas de panne d'imprimante par exemple), prevoyez de sauvegarder tous les fichiers (programmes, graphiques, ...) dans un répertoire que vous archivez à la fin de l'examen avec la commande tar (voir doc Unix). Cette archive, vous pouvez soit nous l'envoyer par courrier électronique (en pièce jointe), soit nous demander de la récupérer sur clef USB.

Introduction

Il s'agit de simuler la trajectoire d'une fusée. Habituellement, les fusées sont tirées d'un endroit proche de l'équateur (c'est là que la vitesse de la surface de la terre est la plus grande), et on penche la fusée par rapport à la verticale rapidement après le décollage. On s'intéresse à savoir quel est le meilleur angle de tir pour atteindre une orbite. On négligera entre autre la résistance de l'air.

La fusée est décrite non seulement par sa position et sa vitesse (qu'on prendra à deux dimensions, considérant que le mouvement se fait dans le plan équatorial de la terre), mais aussi par sa masse, qui décroît au cours du temps à un taux β = -dm/dt. Les produits de combustion sont ejectés à grande vitesse vgaz vers l'arrière de la fusée. La fusée étant penchée à tout moment (pour simplifier) d'un angle α par rapport à la verticale, les gaz ne sont pas éjectés vers le centre de la terre mais à l'angle α ! Initialement la fusée a une masse minit, et une fois le carburant épuisé sa masse est mvide. La fusée entre en vol libre lorsqu'elle a consommé tout son carburant. À ce moment, elle n'est soumise plus qu'a l'attraction terrestre.

  1. Quelle est la force du moteur (aussi appelée sa poussée), ou la quantité de mouvement emmagasinée par la fusée par unité de temps grâce à la combustion ? Considérer pour cela par exemple un bilan de quantité de mouvement sans la gravitation.

    → solution

  2. En ajoutant maintenant la gravitation, quelle est l'équation du mouvement de la fusée ?

    → solution

  3. On adimensionne les longueurs par le rayon de la terre R, le temps par sqrt(R/g) où g est l'accélération terrestre à la surface (un jour terrestre dure alors environ 110 unités de temps), et la masse par la masse initiale de la fusée. L'équation du mouvement devient alors: 

    d vx/dt = - cos(φ)/r² + cos(φ+α)*poussee/m;
d vy/dt = - sin(φ)/r² + sin(φ+α)*poussee/m;

    où r et φ sont les coordonnées polaires de la fusée, poussee est la poussée du moteur exprimé en unités de g au décollage (typiquement 1.6) et m la masse instantanée de la fusée divisée par sa masse initiale.

    Quelles sont les cinq équations différentielles d'ordre 1 qui régissent l'évolution de la fusée pendant la phase de combustion ?

    → solution

  4. Quelles sont les cinq équations différentielles d'ordre 1 qui régissent l'évolution de la fusée pendant la phase de vol libre ?

    → solution

  5. Écrivez un programme en C qui intégre l'évolution de la fusée, et qui affiche position et masse au cours du temps. Prévoyez une variable à laquelle vous donnez la valeur 0 tant qu'il y a encore du carburant, et 1 quand le carburant est épuisé. Pensez à utiliser différentes équations d'évolution pour les différentes phases.

    → solution

  6. Testez votre programme en mettant une poussée nulle aux moteurs, et en plaçant la fusée initialement à une distance 6.6 (adimensionnée) du centre de la terre. Quelle vitesse tangentielle faut-il lui donner à peu près pour obtenir une orbite circulaire ?

    → solution

  7. Tracez et imprimez la trajectoire de la fusée pour une poussée égale à 1.6, une masse à vide de 0.03, un taux de combustion égal à 4 et un angle de tir de 60 dégrés par rapport à la verticale. Justifiez le choix du pas de temps.

    → solution

  8. Dans quelle gamme d'angles de tir obtient-on des orbites (qui n'intersectent pas la surface de la terre) avec ces paramètres ?

    → solution

Auteur(s) : S. Charnoz, A. Daerr. Dernière modification : Sat Oct 25 19:59:43 2008. [validate XHTML]